数形结合重经历,演绎推理明算理

发布时间:19-06-17 录入:顾新佳 浏览次数:388

数形结合重经历,演绎推理明算理

——以《分数与整数相乘》一课为例

摘要:本文由一次课堂“意外”引发了对于在计算教学中如何帮助学生理解算理的思考,并进行深入的剖析。以《分数与整数相乘》一课为例,结合学习历程案的设计意图与课堂中学生的反馈情况,阐述在计算教学中从数形结合与逻辑推理两条路径促进学生理解算理的认识与思考。

关键字:推理能力、数形结合、学习历程案。

2011年课改以来,小学数学教学更加注重学生在课堂中的主体地位,关注学习有没有真发生。在小学数学教学内容中,计算教学所占比重较大,学生常常只知道计算方法却说不清计算的道理。在执教《分数与整数相乘》一课时,一位学生出乎我课前预设的发言让我开始关注并思考,计算教学中如何设计有效的学习路径帮助学生理解算理。

一、聚焦:课堂“意外”引发的思考

【情景再现】在执教《分数与整数相乘》一课时,我请学生解释为什么在计算时可以用分子与整数相乘作为积的分子。我本以为学生能将计算30×3、0.3×3的知识经验迁移到本节课学习的分数与整数相乘,结合计数单位解释的算理,谁知——

1:看成,然后用3×3=9就是分子,10×1=10就是分母,结果是

师:这位同学将3看作来计算是我们后面要学习的分数乘分数,这样解释感觉有点麻烦。还有谁能说说为什么这样算吗?

2在计算的时候我们可以不看分母的10,用3×3=9就是新的分子,所以结果就是

师:这位同学说的还是如何计算,没说清楚其中的道理。哪位同学能来解释下为什么用分子与整数相乘吗?

由于之前两位同学的发言都被教师“驳回”,许多学生一脸困惑,原先活跃的课堂气氛也沉闷了下来,没有学生愿意举手发言表达自己的想法。此时教师只能引导学生结合图形,理解算理。

师:那我们来看看刚刚大家画的图,这里的其实就是3个?

生:3个

师:那就是多少个

生:9个

师:所以最后的结果是。哪位同学能像老师这样结合图形说说为什么的积是

3:3个就是9个,所以结果是

师:你能像这位同学一样,和你的同桌说说为什么的积是吗?

……

在我的预设中,学生根据已有的学习经验结合计数单位解释的算理应该没有太大的困难。然而学生却出现用以后要学习的分数乘分数来解释算理的情况,还有位学生则是用算法来解释算理。虽然之后教师引导学生结合计数单位解释了算理,但学生更像是照葫芦画瓢般的复述,内心不一定接受并认同这种解释算理的方式。从个别学生困惑的眼神中,也能察觉到他们对于这样较为抽象的算理解释并没有充分理解。

本节课的关键在于让学生解释清楚为什么计算可以用分子与整数相乘作为积的分子,分母不变。设计怎样的学习任务有助于学生找到解释算理的抓手?通过怎样的学习路径学生能更加充分、深刻地理解算理?带着因课堂“意外”产生的问题,我开始思考如何在计算教学中突破算理理解这一难点。

二、剖析:数形结合与演绎推理在计算教学中的价值

(一)数形结合,使过程清晰可见

数形结合可以将数学问题变得简明、形象,有助于学生直观地理解数学。教材例题中配了一幅图,让学生先在图中涂色表示做3朵绸花所用的米数,再列出算式。学生在根据要求涂出3朵绸花所用的米数的操作活动中,积累了活动体验,唤醒了学习经验。借助图形直观,学生不仅能清晰地看到3的结果是多少,还能在涂色操作的过程中理解这一乘法算式的含义,即求3的和

在解释算理时,图形更是成为学生清晰表达自己思路与想法的抓手,学生不会再出现用以后要学习的知识或计算方法来解释算理的情况。有了图形的辅助,学生对算理的解释不再仅仅是抽象的数学语言表达。对于分数与整数相乘时为什么分母不变这一关键问题,借助图形学生能更清楚地进行解释。学生的思考痕迹与思维过程在结合图形解释算理的过程中完整、清晰地呈现了出来。

(二)演绎推理,让运算有理有据

《数学课程标准(2011年版)》中指出推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。其中演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算。《分数与整数相乘》是计算课,但演绎推理的过程在本节课却有着非常重要的作用。学生可以借助图形较为清楚地解释算理,为什么教材中还要看似“大费周章”地出示的计算过程?演绎推理的过程看上去较为繁琐,然而每一步算式的推导都有理有据。的依据是乘法的含义,的依据是同分母加减法的运算法则,的依据是乘法的含义。充分经历严谨的演绎推理过程后,学生对于算理的理解更加深入、深刻。

在几次试讲中,我发现学生在解释算理时很难想到结合计数单位说明为什么计算是将分子与整数相乘作为积的分子而分母不变。但是演绎推理的过程能让学生在脑海中建立起新知与旧知之间的联系,更容易为学生所接受并理解。同时学生也能在演绎推理的过程中,感受到乘法是加法的简便计算。经历严谨的演绎推理后,再让学生说说以后怎样计算,学生对算法便能有更加深入的认识

三、实践:依托学习历程案,让计算教学有理可循

为了帮助学生更好地理解分数与整数相乘的算理,我设计了一份学习历程案并进行了教学实践。

(一)以形助数讲算理

在出示问题情境后,我放手让学生自主探究做3朵绸花共用绸带几分之几米。要求学生先列式解答,再在图上画一画并结合算式说一说是怎么想的,最后思考为什么可以这样算。巡视过程中我找到三种不同的方法,便依次展示了这三位学生的作品并请他们说说自己是怎么想的。

【教学片段】

1:我们知道做一朵绸花要用米绸带,要求做3朵绸花用多少绸带,我们只要把3个加起来。所以我在图里又涂了2个,用加法就是,结果是米。

师:这位同学用分数加法解决了这个问题,解释得很清楚,让我们给他点掌声。我们再来看看下一位同学的方法。

2:要求3朵绸花一共用几分之几米的绸带,我们还可以用乘法来计算。我的算式是,但是分数乘法我们还没学,我就想这里的其实就是求3个的和。所以,这是我们已经学过的分数加法,算出来结果是米。

师:这位同学是用乘法来计算,将分数与整数相乘转化为分数加法,化新知为旧知,老师给你点个赞。老师还找到一位用乘法计算的同学,我们来听听他是怎么想的。

3:我列的算式也是,但计算时候我是先用3和3相乘得到9,所以最后结果是米。

师:为什么可以用3和3相乘的积当作新的分子呢?你能解释清楚吗?

3:一朵绸花用米绸带,在图中把1米平均分成10份,涂了3份。那就是3×3份,也就是9份,所以结果是米。

师:我们给这位同学点掌声,解释得真清楚。刚刚他发言中的3份和9份是什么意思?谁能再来说一说?

4:其实刚刚他说的3份就是指3个9份就是指9个,所以结果是

师:3个就是3乘3个,也就是9个,积是。你能像老师这样指着图和同桌说说为什么这样算吗?对于你还有问题吗?为什么积的分母不变呢?

5:因为图中是把1米平均分成10份,平均分成的份数没变,所以分母不变。

6:因为的结果是9个,所以分母还是10。

从课堂巡视的情况来看,学生都能用自己的方法计算出做3朵绸花共用几分之几米的绸带,其中有超过一半的学生能根据已有的学习经验列出的乘法算式并能计算出最后的结果。学生中出现用分数加法计算、将分数与整数相乘转化为分数加法计算和直接用分数乘法计算三种情况。

先出示前两种方法是让学生感受到无论是加法还是乘法,都是求3个的和,帮助学生理解乘法算式的含义。最后展示直接用乘法计算的方法,重点让学生解释为什么可以直接用分子与整数相乘作为积的分子。借助图形,学生不仅能直接看出结果是,而且在解释算理时能以图形为抓手,较为清楚地解释算理。学生表达时提到的3份和9份其实就是结合计数单位解释算理。最后要求每位学生指着图与同桌说一说,让每位学生都经历结合图形解释算理的过程。最后在讨论分母为什么不变时,学生也是首先想到结合图形来进行解释。可见图形对于学生理解并解释算理提供了较大的帮助。

整个环节,教师所做的只是提供学生展示自己想法的舞台、耐心地倾听学生的发言并适时地进行引导,而不是强行将较为抽象的解释算理过程“强加”给学生。

(二)演绎推理再经历

在学生结合图形理解算理的基础上,教师引导学生对之前的学习进行一个回顾与整理,带领学生完整地经历一遍演绎推理的过程。

【教学片段】

师:回顾一下刚刚学习的分数与整数相乘,就是求3个的和,还记得这样的同分母加法是怎么计算的吗?

1:分母不变,分子相加。

师:怎样写比较简便?

2:可以写成

师:算出来最后的结果是。你觉得哪些步骤可以省略?

3:加法的过程可以省略。

师:现在你能说说我们以后如何计算吗?

4:分子与整数相乘当作新的分子,分母不变。

演绎推理调动了学生已有的学习经验,每一步都有理有据。推理的过程让学生清楚地看到乘法与加法之间的联系,感受到乘法就是加法的简便计算方法,充分勾连新知与旧知。在借助图形解释算理和完整经历演绎推理过程的基础上,再让学生说说分数与整数相乘应该如何计算。此时学生总结的算法不再是凭借经验进行的迁移,而是在充分理解算理之后的提炼与概括。

接着出示整数乘整数、小数乘整数和分数整数的乘法算式,让学生算一算并找寻它们之间的联系。学生通过观察和比较,能够发现6道乘法算式在计算时都用到4×2,所不同的只是以前学习乘法中积的计数单位是整数,而本节课学习的分数与整数相乘积的计数单位是分数。无论是整数乘整数、小数乘整数,还是本节课学习的分数乘整数,都是求积里有多少个计数单位。之后让学生计算,学生就能结合计数单位解释b个就是bn个,所以积是

 

四、反思理解算理的两条途径——直观的图形与严谨的推理

学生对算理的理解应在解释计算道理的过程中逐步深入,教师应该为学生提供解释算理的抓手与路径。直观的图形与严谨的推理正是让学生用自己语言解释算理的两条途径。学习历程案中记录了课堂中学生的学习痕迹,学生在教师精心设计的学习路径中借助图形直观获得更丰富的体验,经历演绎推理的过程更加完整、深刻地理解算理。学生有了更多表达自己想法的机会,能积极展示各自的计算方法并从不同的角度解释自己这样计算的道理。

依托学习历程案,计算教学变得更加有理有据、有理可循。通过本节课的学习,分数与整数相乘的计算不再仅仅是学生脑海中运算法则的机械记忆,更是一种理解算理之后的认同与内化。

总之,计算教学绝不仅仅为了在掌握算法的基础上形成运算技能,更重要的是理解运算的含义、解释运算的道理。通过数形结合与逻辑推理两条学习路径,学生充分地经历解释算理的过程,对算理的认识与理解也随着课堂进程的展开愈加深入、明晰。

 

 

 

参考文献

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[Z].北京:北京师范大学出版社,2012

2.张秋爽.计算教学的隐忧[J].小学数学教师,2014(6).

3.蓝艺明.小学计算教学价值取向的变化与对策[J].教育导刊,2014(4).

 

 

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